Aljabar asal Uzbekistan. Dia adalah ilmuwan besar ketika Islam menjadi pusat ilmu pengetahuan dunia di Baghdad." />

Aljabar atau algebra (bahasa Inggris) adalah berasal dari kata dalam bahasa Arab الجبر (al-jabr) 'penyatuan kembali bagian-bagian yang rusak, penyusunan tulang'): adalah salah satu bidang matematika yang luas. Secara kasar, aljabar adalah studi tentang simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini dalam rumus; Alkabar] itu adalah benang pemersatu dari hampir semua matematika.

Dengan kata lain, Algebra adalah cabang matematika yang membantu dalam representasi masalah atau situasi dalam bentuk ekspresi matematika. Ini melibatkan variabel seperti x, y, z, dan operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian untuk membentuk ekspresi matematika yang bermakna. Semua cabang matematika seperti trigonometri, kalkulus, geometri koordinat, melibatkan penggunaan aljabar. Salah satu contoh sederhana ekspresi dalam aljabar adalah 2x + 4 = 8.

Aljabar berurusan dengan simbol dan simbol-simbol ini terkait satu sama lain dengan bantuan operator. Ini bukan hanya konsep matematika, tetapi keterampilan yang kita semua gunakan dalam kehidupan sehari-hari tanpa kita sadari. Memahami aljabar sebagai sebuah konsep lebih penting daripada memecahkan persamaan dan menemukan jawaban yang benar, karena aljabar berguna dalam semua topik matematika lainnya yang akan Anda pelajari di masa depan atau yang telah Anda pelajari di masa lalu.

Apa itu Aljabar?

Aljabar adalah cabang matematika yang berurusan dengan simbol dan operasi aritmatika di simbol-simbol ini. Simbol-simbol ini tidak memiliki nilai tetap dan disebut variabel. Dalam masalah kehidupan nyata kita, kita sering melihat nilai-nilai tertentu yang terus berubah. Tapi ada kebutuhan konstan untuk mewakili nilai-nilai yang berubah ini. Di sini dalam aljabar, nilai-nilai ini sering dilambangkan dengan simbol seperti x, y, z, p, atau q, dan simbol-simbol ini disebut variabel. Selanjutnya simbol-simbol tersebut dimanipulasi melalui berbagai operasi aritmatika penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dengan tujuan untuk mencari nilai.

Cabang Aljabar

Kompleksitas aljabar disederhanakan dengan penggunaan banyak ekspresi aljabar. Berdasarkan penggunaan dan kompleksitas ekspresi, aljabar dapat diklasifikasikan ke dalam berbagai cabang yang tercantum di bawah ini:

Pra-aljabar

Aljabar Dasar

Aljabar Abstrak

Aljabar Universal

Pra-aljabar

Cara dasar menyajikan nilai yang tidak diketahui sebagai variabel membantu membuat ekspresi matematika. Ini membantu dalam mengubah masalah kehidupan nyata menjadi ekspresi aljabar dalam matematika. Membentuk ekspresi matematis dari pernyataan masalah yang diberikan adalah bagian dari pra-aljabar.

Aljabar Dasar

Aljabar dasar berkaitan dengan pemecahan ekspresi aljabar untuk jawaban yang layak. Dalam aljabar dasar, variabel sederhana seperti x, y, direpresentasikan dalam bentuk persamaan. Berdasarkan derajat variabel, persamaan disebut persamaan linier, persamaan kuadrat, polinomial. Persamaan linier berbentuk, ax + b = c, ax + by + c = 0, ax + by + cz + d = 0. Aljabar dasar berdasarkan derajat variabel, bercabang menjadi persamaan kuadrat dan polinomial. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0, dan untuk persamaan polinomial, axn + bxn-1+ cxn-2+ .....k = 0.

Aljabar Abstrak

Aljabar abstrak berkaitan dengan penggunaan konsep abstrak seperti grup, cincin, vektor daripada sistem bilangan matematika sederhana. Dering adalah level abstraksi sederhana yang ditemukan dengan menulis properti penjumlahan dan perkalian secara bersamaan. Teori grup dan teori cincin adalah dua konsep penting aljabar abstrak. Aljabar abstrak menemukan banyak aplikasi dalam ilmu komputer, fisika, astronomi, dan menggunakan ruang vektor untuk mewakili kuantitas.

Aljabar Universal

Semua bentuk matematika lain yang melibatkan trigonometri, kalkulus, geometri koordinat yang melibatkan ekspresi aljabar dapat dianggap sebagai aljabar universal. Di seluruh topik ini, aljabar universal mempelajari ekspresi matematika dan tidak melibatkan studi model aljabar. Semua cabang aljabar lainnya dapat dianggap sebagai himpunan bagian dari aljabar universal. Setiap masalah kehidupan nyata dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu cabang matematika dan dapat diselesaikan dengan menggunakan aljabar abstrak.

Topik Aljabar

Aljabar dibagi menjadi banyak topik untuk membantu studi terperinci. Di sini, kami telah membuat daftar beberapa topik penting aljabar seperti ekspresi dan persamaan aljabar, barisan dan deret, eksponen, logaritma, dan himpunan.

Ekspresi Aljabar

Ekspresi aljabar dalam aljabar dibentuk menggunakan konstanta bilangan bulat, variabel, dan operasi aritmetika dasar penjumlahan(+), pengurangan(-), perkalian(×), dan pembagian(/). Contoh ekspresi aljabar adalah 5x + 6. Di sini 5 dan 6 adalah bilangan tetap dan x adalah variabel. Selanjutnya, variabel dapat berupa variabel sederhana menggunakan huruf seperti x, y, z atau dapat memiliki variabel kompleks seperti x2, x3, xn, xy, x2y, dll. Ekspresi aljabar juga dikenal sebagai polinomial. Polinomial adalah ekspresi yang terdiri dari variabel (juga disebut tak tentu), koefisien, dan eksponen variabel bilangan bulat non-negatif. Contoh: 5x3 + 4x2 + 7x + 2 = 0.

Persamaan adalah pernyataan matematika dengan simbol 'sama dengan' antara dua ekspresi aljabar yang memiliki nilai yang sama. Diberikan di bawah ini adalah berbagai jenis persamaan, berdasarkan derajat variabel, di mana kita menerapkan konsep aljabar:

Persamaan Linier: Persamaan linier membantu dalam merepresentasikan hubungan antara variabel seperti x, y, z, dan dinyatakan dalam eksponen satu derajat. Dalam persamaan linier ini, kami menggunakan aljabar, mulai dari dasar seperti penjumlahan dan pengurangan ekspresi aljabar.

Persamaan Kuadrat: Persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk standar sebagai ax2 + bx + c = 0, di mana a, b, c adalah konstanta dan x adalah variabelnya. Nilai x yang memenuhi persamaan disebut solusi persamaan, dan persamaan kuadrat memiliki paling banyak dua solusi.

Persamaan Kubik: Persamaan aljabar yang memiliki variabel dengan pangkat 3 disebut sebagai persamaan kubik. Bentuk umum persamaan kubik adalah ax3 + bx2 + cx + d = 0. Persamaan kubik memiliki banyak aplikasi dalam kalkulus dan geometri tiga dimensi (Geometri 3D).

Urutan dan Deret

Himpunan bilangan yang memiliki hubungan antar bilangan disebut barisan. Barisan adalah sekumpulan bilangan yang memiliki hubungan matematis yang sama antara bilangan tersebut, dan deret adalah jumlah suku-suku suatu barisan. Dalam matematika, kita memiliki dua barisan dan deret bilangan yang luas dalam bentuk deret aritmetika dan deret geometri. Beberapa deret ini terbatas dan beberapa deret tidak terbatas. Kedua deret tersebut juga disebut deret aritmatika dan deret geometri dan dapat direpresentasikan sebagai berikut.

Perkembangan Aritmatika: Perkembangan Aritmatika (AP) adalah jenis perkembangan khusus di mana perbedaan antara dua suku berurutan selalu konstan. Suku-suku barisan barisan aritmetika adalah a, a+d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, a + 5d, .....

Perkembangan Geometris: Setiap perkembangan di mana rasio suku-suku yang berdekatan tetap adalah Perkembangan Geometrik. Bentuk umum representasi barisan geometri adalah a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, .....

Eksponen

Eksponen adalah operasi matematika, ditulis sebagai. Di sini ekspresi an melibatkan dua angka, basis 'a' dan eksponen atau pangkat 'n'. Eksponen digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar. Pada bagian ini, kita akan belajar secara rinci tentang eksponen termasuk kuadrat, pangkat tiga, akar pangkat dua, dan akar pangkat tiga. Nama-nama didasarkan pada kekuatan eksponen ini. Eksponen dapat direpresentasikan dalam bentuk an = a × a × a × ... n kali.

Logaritma

Logaritma adalah fungsi invers eksponen dalam aljabar. Logaritma adalah cara mudah untuk menyederhanakan ekspresi aljabar besar. Bentuk eksponensial yang direpresentasikan sebagai ax = n dapat diubah menjadi bentuk logaritma sebagai log sebuah n = x. John Napier menemukan konsep Logaritma pada tahun 1614. Logaritma kini telah menjadi bagian integral dari matematika modern.

Set

Himpunan adalah kumpulan objek berbeda yang terdefinisi dengan baik dan digunakan untuk mewakili variabel aljabar. Tujuan penggunaan himpunan adalah untuk mewakili kumpulan objek yang relevan dalam suatu grup. Contoh: Himpunan A = {2, 4, 6, 8}..........(himpunan bilangan genap), Himpunan B = {a, e, i, o, u}.... ..(Satu set vokal).

Rumus Aljabar

Identitas aljabar adalah persamaan yang selalu benar terlepas dari nilai yang diberikan ke variabel. Identitas berarti ruas kiri persamaan identik dengan ruas kanan, untuk semua nilai variabel. Rumus ini melibatkan kuadrat dan kubus ekspresi aljabar dan membantu dalam memecahkan ekspresi aljabar dalam beberapa langkah cepat. Rumus aljabar yang sering digunakan tercantum di bawah ini.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b)(a - b) = a2 - b2

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Mari kita lihat penerapan rumus-rumus tersebut dalam aljabar dengan menggunakan contoh berikut,

Contoh: Dengan menggunakan rumus (a + b)2 dalam aljabar, carilah nilai dari (101)2.

Diketahui: (101)2 = (100 + 1)2

Menggunakan rumus aljabar (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, kita dapatkan,

(100 + 1)2 = (100)2 + 2(1)(100) + (1)2

(101)2 = 10201

Untuk rumus lebih lanjut periksa halaman rumus aljabar, yang berisi rumus untuk perluasan ekspresi aljabar, eksponen, dan rumus logaritma.

Operasi Aljabar

Operasi dasar yang tercakup dalam aljabar adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Penjumlahan: Untuk operasi penjumlahan dalam aljabar, dua ekspresi atau lebih dipisahkan oleh tanda plus (+) di antaranya.

Pengurangan: Untuk operasi pengurangan dalam aljabar, dua ekspresi atau lebih dipisahkan oleh tanda minus (-) di antaranya.

Perkalian: Untuk operasi perkalian dalam aljabar, dua atau lebih ekspresi dipisahkan oleh tanda perkalian (×) di antaranya.

Pembagian: Untuk operasi pembagian dalam aljabar, dua ekspresi atau lebih dipisahkan oleh tanda "/" di antaranya.

Aturan Dasar dan Properti Aljabar

Aturan dasar atau sifat aljabar untuk variabel, ekspresi aljabar, atau bilangan real a, b dan c adalah seperti yang diberikan di bawah ini,

Sifat Komutatif Penjumlahan: a + b = b + a

Sifat Komutatif Perkalian: a × b = b × a

Sifat Asosiatif Penjumlahan: a + (b + c) = (a + b) + c

Sifat Asosiatif Perkalian: a × (b × c) = (a × b) × c

Sifat Distributif: a × (b + c) = (a × b) + (a × c), atau, a × (b - c) = (a × b) - (a × c)

Kebalikan: Kebalikan dari a = 1/a

Properti Identitas Aditif: a + 0 = 0 + a = a

Sifat Identitas Perkalian: a × 1 = 1 × a = a

Pembalikan Penjumlahan: a + (-a) = 0